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SPC - Verteilungsarten

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Für eine umfassende und korrekte Maschinen- und Prozessqualifikation ist es erforderlich, den zugrunde liegenden Prozess ausreichend genau modellhaft zu beschreiben. Aus diesem Grund werden Qualitätsmerkmale von gefertigten Teilen gemessen. Diese repräsentieren das Verhalten der Maschine bzw. des Prozesses. Voraussetzung dafür sind ein fähiges Messverfahren und ein ausreichend großer Stichprobenumfang.





Qualitative Merkmale

Zu den qualitativen Merkmalen zählen alle nominal- und ordinalskalierten Merkmale. Mit einer Nominalskala kann lediglich eine Gleichheit bzw. Ungleichheit eines Merkmalträgers angegeben werden, wie passt oder passt nicht.
Ist eine Unterscheidung zwischen kleiner bzw. größer möglich, wie bei Schulnoten, Güteklassen usw. wird hingegen eine natürliche Reihenfolge vorgegeben. Man nennt diese Art von Merkmalen ordinalskaliert.
Beide Skalen kennen keine Abstände und Ausprägungen, dadurch ist der Informationsgrad bei Auswertungen von qualitativen Merkmalen eher gering und lässt wenige Rückschlüsse auf Probleme im Prozess zu. Typische statistische Kennwerte sind der Modalwert, Median usw.

Quantitative Merkmale

Kontinuierliche und diskrete Merkmale gehören zur Gruppe der quantitativen Merkmale. Unter diskret versteht man, wenn die Menge der Ausprägungen abzählbar ist, wie dies bei der Temperatur oder dem Kalenderdatum der Fall ist.

Die wichtigsten diskreten Verteilungsformen sind:

- Hypergeometrische Verteilung
- Binomialverteilung
- Poisson-Verteilung

Bei kontinuierlichen Verteilungen kann die Merkmalausprägung jede reelle Zahl eines gegebenen Bereichs annehmen, hierzu zählen unter anderem alle Messungen im Meter-, Gramm- oder Zeitsystem. Kontinuierliche Merkmale liefern somit den höchsten Informationsgehalt für spätere Auswertungen und werden deshalb an dieser Stelle am ausführlichsten behandelt.
Zu den wichtigsten kontinuierlichen Verteilungsformen gehören:

- Normalverteilung
- Logarithmische Normalverteilung
- Betragsverteilung 1. Art
- Rayleigh-Verteilung (Betragsverteilung 2. Art)
- Weibull Verteilung


Das Modell der Normalverteilung


Für kontinuierliche Merkmale wird zum leichteren Verständnis oft die Normalverteilung angewendet, da diese bei Experimenten und Beobachtungen häufig auftritt. Zudem sind beliebig verteilte Zufallsvariablen angenähert normalverteilt und zwar umso besser, je größer deren Anzahl ist. Es ergibt sich somit ein anschauliches, mathematisches Modell.
Doch selbst Merkmale, die nicht normalverteilt sind, können häufig durch eine Normalverteilung angenähert werden. Das Ergebnis führt in vielen Fällen zu sinnvollen und praktisch brauchbaren Ergebnissen und bringt oft rechentechnische Vorteile.

Gaußsche Normalverteilung
Gaußsche Normalverteilung

Bei der Normalverteilung handelt es sich um eine zum Mittelwert µ symmetrische Verteilung, die nach beiden Seiten glockenförmig abfällt und sich der Abszissenachse asymptotisch annähert. Die Kurve hat zwei Wendepunkte, deren Abstand vom Mittelwert als Standardabweichung s bezeichnet wird.

Diese Verteilungsform wird vor allem für die Beschreibung von Längenmaßen benutzt, die nicht nullbegrenzt sind. Dabei beträgt die Fläche unterhalb der Kurve immer eins bzw. 100 %. Geht man von einer Prozessfähigkeit von 2 Sigma aus (+/- 1 s), liegen 68,26 % aller Messwerte innerhalb der Toleranzgrenzen. Bei 8 Sigma (+/- 4 s) befinden sich bereits 99,994 % aller Werte innerhalb der Toleranz.




Betragsverteilung 1. Art

Durch die Faltung der Normalverteilung an einem beliebigen Punkt p = µ ergibt sich die Betragsverteilung 1. Art. Durch die Faltung werden die Werte links von p den Werten rechts von p zugeschlagen.
Diese Verteilungsform beschreibt im Allgemeinen eindimensionale, nullbegrenzte Merkmale mit Zielwert null wie Ebenheit, Rundheit, Parallelität usw.

Betragsverteilung  1. Art Faltung bei 0
Betragsverteilung 1. Art mit Faltung bei µ=0


Betragsverteilung 2. Art

Die Rayleigh-Verteilung oder Betragsverteilung 2. Art ist eine zweidimensionale Verteilung, die dann eingesetzt wird, wenn sich ein Merkmal aus zwei Komponenten zusammensetzt, wobei die Streuung der Einzelkomponenten als gleich angesehen werden kann. Anwendung findet die Betragsverteilung 2. Art beispielsweise bei Positionstoleranzen. Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über die Verteilungsformen einiger wichtiger Merkmale.



Die gängigsten Verteilungsarten der wichtigsten Form- und Lagetoleranzen im Überblick:
SPC Verteilungsarten



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